Quando devemos usar estas palavras:  malgrado e mau grado?

Vejamos primeiro os diferentes significados da palavra grado:

I. Adjetivo, derivado do latim granatu (abundante em grãos):

1. Bem desenvolvido; graúdo.

2. Importante, notável.

Exemplo: Pessoas gradas estiveram no jantar oferecido pelo Imperador.

II. Substantivo, derivado do latim gradu:

1. Unidade de medida de ângulo, igual ao ângulo central de uma circunferência de círculo que subtende um arco de 1/400 de toda a circunferência.

2. Passo, andadura.   

III. Substantivo, derivado do latim gratu:

1. Vontade.

Com este significado, a palavra dá origem às locuções de bom grado e de mau grado.

De bom grado: de boa vontade.

De mau grado: de má vontade. 

Exemplos:

O amigo aceitou de bom grado a proposta recebida.

Ele recebeu de mau grado a ordem do chefe.

Saímos de mau grado da cerimônia. 

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A palavra malgrado pode fazer as vezes de um substantivo ou de uma preposição:

I. Substantivo: desagrado, desprazer, mau grado. 

Exemplo: Tudo foi feito a nosso malgrado.

II. Preposição: não obstante; apesar de; a despeito de:

Exemplo: Malgrado o nosso esforço, não chegamos a tempo.

Neste último caso, como se trata de preposição, a palavra não varia.

Exemplos:

Malgrado as lutas que travamos, nada conseguimos.

Malgrado sua dedicação, não foi aprovado.